Równania i nierówności
Zadanie 30, maj 2022, poziom podstawowy
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1, a_{1} = -1\) i \(a_{4} = 8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź
\(S_{100}=14750\). Z równania \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\), otrzymujemy \(r=3\), a następnie \(S_{100}=\dfrac{2a_1+99r}{2}\cdot100=(-2+297)\cdot50=14750\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Aby policzyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy. Pierwszy wyraz jest dany, a różnicę wyliczymy ze wzoru na wyraz ogólny, bo znamy \(a_4\).
**Krok \(2\).** Wzór na wyraz ogólny: \(a_n=a_1+(n-1)r\), więc dla \(n=4\):
\[a_4=a_1+3r.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_1=-1\) i \(a_4=8\):
\[8=-1+3r\ \Longrightarrow\ 3r=9\ \Longrightarrow\ r=3.\]
**Krok \(4\).** Wzór na sumę stu początkowych wyrazów:
\[S_{100}=\frac{2a_1+99r}{2}\cdot100=\left(2a_1+99r\right)\cdot50.\]
**Krok \(5\).** Liczymy nawias:
\[2\cdot(-1)+99\cdot3=-2+297=295.\]
**Krok \(6\).** Stąd
\[S_{100}=295\cdot50=14750.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie inną drogą: \(a_{100}=-1+99\cdot3=296\), więc \(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{2}\cdot100=\dfrac{-1+296}{2}\cdot100=\dfrac{295}{2}\cdot100=14750\). Wyniki się zgadzają.
**Odpowiedź.** \(S_{100}=14750\).
Klucz i zasady oceniania
• zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n—ty wyraz
ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np.
a4=a1+3r i =
100
¯ž¯
lub
ał+ałoo . 100
= ał + 3r i ałoo = ał + 99r i Słoo =
ALBO
• podałobliczy różnicę r ciągu arytmetycznego (an): r = 3 lub przyjmuje
adanie 30. (0—2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt
100 = 14 750
Wymaganie ogólne
III. Modelowanie matematyczne.
Zasady oceniania
gdy:
Wymaganie szczegółowe
Zdający:
5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę
n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
w rozwiązaniu, że r = 3.
Zdający otrzymuje ............................................
gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an): Słoo =
Uwagi:
2 pkt
14 750.
1. Jeśli zdający błędnie obliczy r i konsekwentnie do otrzymanej wartości r obliczy sumę
stu początkowych wyrazów ciągu (an), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje O punktów za całe
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na [14:
Zatem 8 = —1 + 3r, więc r = 3.
Korzystamy ze wzoru na sumę n
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i obliczamy Słoo:
2a1 + 1) r
-2 + 297
S 100
2
CENTRALNA
KOMISJA
Sposób 2.
100 -
2
Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty
wyraz tego ciągu:
gdzie r oznacza różnicę ciągu.
Podstawiamy ał = —1 oraz = 8 i otrzymujemy równanie 8 = —1 + 3r, skąd r = 3
Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru
2
Obliczamy setny wyraz ciągu (an):
ałoo = ał + 99 . r = _
I + 99 • 3 —
- 296
Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
S 100
-1 + 296
• 100 = 295 50 = 14 750
2
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne.
**Wymaganie szczegółowe:** 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
