Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 32, maj 2022, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\tan\alpha=2\). **Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha\).**
Odpowiedź
\[\sin^2\alpha=\frac45.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(\operatorname{tg}\alpha=2\) mamy \(\sin\alpha=2\cos\alpha\). Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
\[4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\]
\[\cos^2\alpha=\frac15.\]
Stąd
\[\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha=\frac45.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\sin^2\alpha=\frac45\)
**1 pkt** – zapisanie zależności \(\sin\alpha=2\cos\alpha\) i wykorzystanie tożsamości jedynkowej albo równoważny istotny krok
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
6.3 stosowanie prostych zależności między funkcjami trygonometrycznymi.
