Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 8, maj 2017, poziom rozszerzony
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), bok \(BC\) ma długość \(a\), a \(|\angle ABC|=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(E\). Wykaż, że
\[|BE|=\frac{2ac\cos\frac\beta2}{a+c}.\]
Odpowiedź
\[|BE|=\frac{2ac\cos\frac\beta2}{a+c}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|BE|=d\). Pole trójkąta \(ABC\) oraz pól jego części wynoszą
\[P_{ABC}=\frac12ac\sin\beta,\quad P_{ABE}=\frac12dc\sin\frac\beta2,\quad P_{CBE}=\frac12da\sin\frac\beta2.\]
Ponieważ \(P_{ABC}=P_{ABE}+P_{CBE}\), po użyciu \(\sin\beta=2\sin\frac\beta2\cos\frac\beta2\) dostajemy
\[2ac\cos\frac\beta2=d(a+c),\]
a więc żądaną równość.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne rozumowanie
**2 pkt** – poprawna zależność \(\frac12ac\sin\beta=\frac12dc\sin\frac\beta2+\frac12da\sin\frac\beta2\) bez doprowadzenia do tezy
**1 pkt** – poprawne zapisanie pól trzech odpowiednich trójkątów albo równoważny istotny postęp
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
pole trójkąta, funkcje trygonometryczne, dwusieczna i zależności miarowe w trójkącie.
