Zadanie 13 – matura z matematyki maj 2016, poziom rozszerzony

\(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\). Punkt \(D\) jest obrazem \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Ponieważ oś symetrii przechodzi przez środek okręgu, przekątna \(AC\) jest średnicą, więc kąt \(ABC\) jest prosty; prosta \(BC\) o współczynniku \(-\tfrac54\) przecina prostą \(y=x+2\) właśnie w punkcie \(C\).

**Krok \(1\).** Zbierzmy, co daje treść. Prosta \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), jest osią symetrii czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Wynikają z tego dwie rzeczy. Po pierwsze, symetria względem tej prostej zostawia \(A\) i \(C\) na miejscu, a zamienia \(B\) z \(D\) — czyli \(D\) jest obrazem \(B\). Po drugie, oś symetrii figury wpisanej w okrąg jest osią symetrii także tego okręgu, więc przechodzi przez jego środek; zatem \(AC\) jest średnicą, a stąd kąt \(ABC\) jest prosty (kąt oparty na średnicy). **Krok \(2\).** Sprawdzamy, że \(A\) rzeczywiście leży na osi: \(30-32+2=0\). Zgadza się. **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(D\) jako obraz \(B=(0,8)\) w symetrii względem prostej \(y=x+2\). Prosta przechodząca przez \(B\) i prostopadła do osi ma współczynnik kierunkowy \(-1\) (bo \(1\cdot(-1)=-1\)): \[y=-x+8.\] **Krok \(4\).** Szukamy punktu \(S\) przecięcia tej prostopadłej z osią symetrii: \[x+2=-x+8\ \Longrightarrow\ 2x=6\ \Longrightarrow\ x=3,\quad y=5,\] czyli \(S=(3,5)\). **Krok \(5\).** Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\), więc ze wzorów na środek odcinka: \[x_D=2\cdot3-0=6,\qquad y_D=2\cdot5-8=2,\] zatem \(D=(6,2)\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do \(C\). Kąt \(ABC\) jest prosty, więc prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AB\). Współczynnik kierunkowy \(AB\): \[a_{AB}=\frac{32-8}{30-0}=\frac{24}{30}=\frac45,\] więc prosta \(BC\) ma współczynnik \(-\dfrac54\) i przechodzi przez \(B=(0,8)\): \[y=-\frac54x+8.\] **Krok \(7\).** Punkt \(C\) leży na przekątnej \(AC\), czyli na osi \(y=x+2\). Rozwiązujemy układ: \[x+2=-\frac54x+8\ \Longrightarrow\ x+\frac54x=6\ \Longrightarrow\ \frac94x=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{8}{3}.\] **Krok \(8\).** Stąd \(y=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3}\), czyli \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie. Środek okręgu to środek średnicy \(AC\), czyli punkt \(\left(\dfrac{49}{3},\dfrac{55}{3}\right)\). Kwadrat jego odległości od \(A\) i od \(B\) wynosi w obu przypadkach \(\dfrac{3362}{9}\), więc punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) rzeczywiście leżą na jednym okręgu. **Uwaga.** Informacja, że \(AC\) jest jedyną osią symetrii, mówi, że czworokąt jest deltoidem, a nie na przykład prostokątem. Dzięki temu wiadomo, że w tej symetrii \(B\) przechodzi na \(D\), a nie na siebie. **Odpowiedź.** \(C=\left(\dfrac83,\dfrac{14}{3}\right)\), \(D=(6,2)\).

Zadanie 13. (0-5) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej IV. Użycie i tworzenie danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt, strategii. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.3, 8.4, 8.5). Przykładowe rozwiązanie Zauważamy, że jeżeli AC jest przekątną czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg i pros AC jest osią symetrii tego czworokąta, to ten czworokąt jest deltoidem, a trójkąty AB i ADC są prostokątne. Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołka D , który jest obraze wierzchołka B , w symetrii osiowej względem prostej AC . Ponieważ prosta BD je prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt B , więc jej równanie ma postać Obliczamy współrzędne środka S przekątnej BD. Ponieważ jest to punkt przecięc prostych AC i BD , więc wystarczy rozwiązać układ równań Otrzymujemy stąd x = 3 i y = 5 . Zatem punkt S ma współrzędne Współrzędl punktu D spełniają zatem równania YD+8 2 -5. 2 Stąd wynika, że XI) i YD = 2 czyli D Obliczymy teraz współrzędne wierzchołka C . Zauważamy, że jest to punkt przecięcia prost AC i prostej CD , która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt D 2-32 Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej AD jest równy 5 więc prosta CD n równanie postaci Rozwiązujemy układ równań Zatem C = Schemat punktowania 6-30 i otrzymujemy Y 4 24 42 9 8 14 3 Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części. Pierwsza, to obliczenie współrzędny punktu D, druga, to obliczenie współrzędnych punktu C . Mogą być one wykonał niezależnie od siebie, w dowolnej kolejności. Za pierwszą część rozwiązanła zdają( otrzymuje 2 punkty, a za drugą 3 punkty. Schemat punktowania pierwszej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który wyznaczy równanie prostej BD i zapisze, że punkt przecięcia prostych AC i BD jest środkiem odcinka BD lub wykorzysta ten fakt. 2 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu D Schemat punktowania drugiej części 1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym lub wykorzysta ten fakt 2 punkty przyznajemy zdającemu za wyznaczenie równania prostej CD y— (X-6)+2 3 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu C • Uwaga: Współrzędne punktu C zdający może obliczać inaczej. Poniżej schematy przydziału 3 punktów za obliczenie współrzędnych wierzchołka C. • W przypadku obliczenia w pierwszej kolejności współrzędnych środka okręgu opisanego na danym czworokącie, który jest środkiem odcinka AC. gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą opisujące zależność 1 punkt ISA12 = ISB12 2 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu S, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC. gdy zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny, np. zapisze 1 punkt IAc12 = ABP +lBc12 , 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem symetralnej odcinka AB i środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD. 1 punkt — gdy zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB, 2 punkty gdy zdający wyznaczy współrzędne środka okręgu przechodzącego przez punkty 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem kąta pomiędzy prostymi AD i AB 1 punkt — gdy zdający obliczy tangens kąta DAB, 2 punkty gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem współczynników kierunkowych prostych BC i CD jako tangensów odpowiednich kątów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem iloczynu skalarneś wektorów BC i BA (albo, po wyznaczeniu współrzędnych punktu D, wektorów DA i DC). 1 punkt gdy zdający zapisze, że wektory BC i BA albo DA i DC są prostopadłe h wyznaczy ich współrzędne, 2 punkty — gdy zdający zapisze równame z jedną niewiadomą wynikające z zerowania s iloczynu skalarnego wektorów, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem równania okrę{ przechodzącego przez punkty A, B, D. 1 punkt gdy zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego możl obliczyć współczynniki w równaniu okręgu, 2 punkty — gdy zdający wyznaczy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABD, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen cosinusów. 1 punkt gdy zdający wyznaczy cosinus kąta BAD, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD i zapisze równan z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C. • W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzen o wysokości w trójkącie prostokątnym ABC (albo, po wyznaczeniu współrzędny punktu D, w trójkącie ACD). 1 punkt gdy zdający wyznaczy długości odcinków AS i BS, lub AS i DS, gdzie S je spodkiem wysokości trójkąta należącym do boku AC, 2 punkty — gdy zdający zastosuje twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątny i zapisze równanie z jedną niewiadomą, 3 punkty — gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej, oblicza punkt przecięcia dwóch prostych oraz wyznacza środek odcinka (8.3, 8.4, 8.5).