Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, maj 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność
\[x^4-x^2-2x+3>0.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Lewą stronę zapisujemy jako sumę składników nieujemnych i składnika dodatniego:
\[x^4-x^2-2x+3=(x^2-1)^2+(x-1)^2+1.\]
Dla każdego \(x\in\mathbb R\) mamy \((x^2-1)^2\geq0\) oraz \((x-1)^2\geq0\), natomiast \(1>0\). Zatem
\[(x^2-1)^2+(x-1)^2+1>0,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód dodatniości
**2 pkt** – zapis \((x^2-1)^2+(x-1)^2+1>0\) bez pełnego uzasadnienia
**1 pkt** – przekształcenie do \(x^4-2x^2+1+x^2-2x+1+1\) prowadzące do sumy kwadratów
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2. Wyrażenia algebraiczne - działania na wyrażeniach i wzory skróconego mnożenia \((a\pm b)^2\), \(a^2-b^2\) (R2.6,
R2.1) .
