Okręgi i koła
Zadanie 9, maj 2015, poziom rozszerzony
Dwusieczne kątów czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P,Q,R,S\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.
Odpowiedź
Na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy
\[\angle BAP=\angle PAD=\alpha,\qquad \angle CBP=\angle ABP=\beta.\]
Ponieważ \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, kąty przeciwległe są dopełniające do \(180^\circ\), więc
\[\angle DCR=90^\circ-\alpha,\qquad \angle CDR=90^\circ-\beta.\]
W trójkącie \(ABP\) otrzymujemy
\[\angle SPQ=\angle APB=180^\circ-(\alpha+\beta).\]
W trójkącie \(CDR\) mamy natomiast
\[\angle SRQ=\angle CRD=\alpha+\beta.\]
Zatem
\[\angle SPQ+\angle SRQ=180^\circ.\]
Suma przeciwległych kątów czworokąta \(PQRS\) jest równa \(180^\circ\), więc czworokąt ten jest wpisany w okrąg.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – wykazanie, że suma przeciwległych kątów czworokąta \(PQRS\) wynosi \(180^\circ\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\angle SPQ=180^\circ-(\alpha+\beta)\) oraz \(\angle SRQ=\alpha+\beta\)
**1 pkt** – oznaczenie połówek dwóch sąsiednich kątów i poprawne wyrażenie połówek dwóch pozostałych kątów
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7. Planimetria - twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu (R7.1).
