Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, maj 2015, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[4x^2-8xy+5y^2\geq0.\]
Odpowiedź
\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2\geq0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę:
\[4x^2-8xy+5y^2=(2x-2y)^2+y^2.\]
Oba składniki są kwadratami liczb rzeczywistych, więc są nieujemne. Ich suma jest zatem nieujemna dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \((2x-2y)^2+y^2\)
**2 pkt** – pełne uzasadnienie nierówności dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x,y\)
**0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 zdający używa wzorów skróconego mnożenia.
