Trójkąty
Zadanie 28, maj 2015, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków, odpowiednio, \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że
\[|BL|=\frac13|BE|\qquad\text{i}\qquad |DN|=\frac13|DE|.\]
Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).
Odpowiedź
\[P_{KLMN}:P_{ABCD}=1:3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(d\) oznacza długość przekątnej kwadratu. Wtedy \(P_{ABCD}=\frac{d^2}{2}\). Ponieważ \(K,M\) są środkami odpowiednich połówek przekątnej \(AC\), mamy \(KM=\frac d2\). Z kolei \(|BE|=|DE|=\frac d2\), a warunki \(|BL|=\frac13|BE|\) i \(|DN|=\frac13|DE|\) dają \(|EL|=|EN|=\frac d3\), więc \(LN=\frac{2d}{3}\). Przekątne czworokąta \(KLMN\) są prostopadłe, zatem
\[P_{KLMN}=\frac12\cdot\frac d2\cdot\frac{2d}{3}=\frac{d^2}{6}.\]
Stąd
\[\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{d^2/6}{d^2/2}=\frac13.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie długości przekątnych \(KM=\frac d2\), \(LN=\frac{2d}{3}\) i wykorzystanie ich prostopadłości
**2 pkt** – obliczenie obu pól i wykazanie stosunku \(1:3\)
**0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
G10.9 zdający oblicza pola trójkątów i czworokątów.
