Trygonometria
Zadanie 5, maj 2014, poziom rozszerzony
Dane są trzy okręgi o środkach \(A\), \(B\), \(C\) i promieniach równych odpowiednio \(r\), \(2r\), \(3r\). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie \(K\), drugi z trzecim w punkcie \(L\) i trzeci z pierwszym w punkcie \(M\). Oblicz stosunek pola trójkąta \(KLM\) do pola trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=\frac15.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Odległości między środkami stycznych zewnętrznie okręgów są sumami promieni, więc
\[|AB|=3r,\qquad |BC|=5r,\qquad |CA|=4r.\]
Punkty styczności dzielą odpowiednie boki w stosunkach wynikających z promieni. Zatem
\[\frac{P_{AMK}}{P_{ABC}}=\frac{|AM|}{|AC|}\cdot\frac{|AK|}{|AB|}=\frac14\cdot\frac13=\frac1{12},\]
\[\frac{P_{BKL}}{P_{ABC}}=\frac{|BK|}{|BA|}\cdot\frac{|BL|}{|BC|}=\frac23\cdot\frac25=\frac4{15},\]
\[\frac{P_{CLM}}{P_{ABC}}=\frac{|CL|}{|CB|}\cdot\frac{|CM|}{|CA|}=\frac35\cdot\frac34=\frac9{20}.\]
Trójkąt \(KLM\) pozostaje po odjęciu trzech trójkątów narożnych, więc
\[\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=1-\frac1{12}-\frac4{15}-\frac9{20}=\frac15.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawny stosunek pól równy \(\frac15\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich trzech stosunków pól trójkątów narożnych, lecz usterka w końcowym odejmowaniu
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie dwóch z trzech stosunków pól
**2 pkt** – poprawne długości \(3r\), \(4r\), \(5r\) i metoda porównywania pól
**1 pkt** – poprawne ustalenie długości boków trójkąta \(ABC\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich i porównuje pola trójkątów o wspólnych kątach.
