Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, maj 2013, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\), takich że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność
\[xy+yz+zx\leq0.\]
Możesz skorzystać z tożsamości
\[(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz.\]
Odpowiedź
Nierówność została udowodniona przy założeniu \(x+y+z=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(x+y+z=0\), więc także \((x+y+z)^{2}=0\).
Korzystamy z podanej tożsamości:
\[0=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz.\]
Stąd
\[2\left(xy+xz+yz\right)=-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),\qquad xy+xz+yz=-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}.\]
Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, więc prawa strona jest niedodatnia:
\[xy+yz+zx\le0.\]
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x=y=z=0\).
**Odpowiedź.** \(xy+yz+zx\le0\) dla wszystkich \(x,y,z\) spełniających \(x+y+z=0\), co należało udowodnić.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: doprowadzenie do zależności xy + xz + yz = −(x² + y² + z²)/2 bez pełnego uzasadnienia znaku albo równoważny istotny etap.
2 pkt: pełne uzasadnienie nierówności.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V.2.b).
