Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 25, maj 2011, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
Odpowiedź
\[a^{4}+b^{4}=31.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podnosimy pierwszy warunek do kwadratu:
\[(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=1.\]
Po podstawieniu \(a^{2}+b^{2}=7\) otrzymujemy
\[7+2ab=1,\qquad ab=-3,\qquad a^{2}b^{2}=9.\]
Następnie podnosimy do kwadratu drugi warunek:
\[\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}=49.\]
Stąd
\[a^{4}+b^{4}=49-2\cdot9=31.\]
**Odpowiedź.** \(a^{4}+b^{4}=31\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie ab = −3 albo przekształcenie tezy do równoważnej postaci a²b² = 9.
2 pkt: pełne uzasadnienie równości a⁴ + b⁴ = 31.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia.
