Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, lipiec 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunki \(a<4\) i \(b<4\), to
\[ab+16>4a+4b.\]
Odpowiedź
\[ab+16>4a+4b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[ab-4a-4b+16>0,\]
\[(a-4)(b-4)>0.\]
Z założeń \(a<4\) i \(b<4\) wynika, że \(a-4<0\) oraz \(b-4<0\). Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc
\[(a-4)(b-4)>0.\]
To dowodzi nierówności \(ab+16>4a+4b\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-4)(b-4)>0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 stosowanie przekształceń algebraicznych i wzorów skróconego mnożenia.
