Logarytmy
Zadanie 27, lipiec 2020, poziom podstawowy
Dane są liczby
\[a=3\log_2 12-\log_2 27\]
oraz
\[b=(\sqrt6-\sqrt7)(3\sqrt6+3\sqrt7).\]
Wartość \(a-b\) jest liczbą całkowitą. Oblicz tę liczbę.
Odpowiedź
\[a-b=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystając z własności logarytmów, obliczamy
\[a=3\log_2 12-\log_2 27=\log_2 12^3-\log_2 27=\log_2\frac{1728}{27}=\log_2 64=6.\]
Następnie
\[b=(\sqrt6-\sqrt7)\cdot3(\sqrt6+\sqrt7)=3(6-7)=-3.\]
Zatem
\[a-b=6-(-3)=9.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(a-b=9\)
**1 pkt** – obliczenie \(a=6\) albo \(b=-3\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6 i 2.1 stosowanie własności logarytmów oraz wzoru na różnicę kwadratów.
