Trójkąty
Zadanie 5, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\). Prosta \(p\) jest prostopadła do boku \(BC\) i przecina ten bok w punkcie \(L\). Ta prosta przecina wysokość \(CD\) w punkcie \(K\) oraz przecina bok \(AC\) w punkcie różnym od \(A\).
Wykaż, że
\[\lvert\angle CAK\rvert=\lvert\angle KDL\rvert.\]
Odpowiedź
\(\lvert\angle CAK\rvert=\lvert\angle KDL\rvert\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i CD jest osią symetrii tego trójkąta, więc
|∡KAC| = |∡KBC| = |∡KBL|.
Ponieważ |∡KDB| = \(90\)° oraz |∡BLK| = \(90\)°, więc na czworokącie DBLK można opisać
okrąg. W tym okręgu kąty wpisane KDL i KBL są oparte na tym samym łuku, więc mają
równe miary. Zatem |∡KAC| = |∡KBL| = |∡KDL|.
To należało wykazać.
Sposób II
Niech M będzie punktem przecięcia prostej p z prostą AB. Oznaczmy α = |∡BCD| oraz
β = |∡CML|.
Trójkąt MCL jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem
\(1\)
odcinka MC, a promień tego okręgu jest równy ⋅ |MC|. Trójkąt MDC jest prostokątny,
\(2\)
więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka MC, a promień tego
\(1\)
okręgu jest równy ⋅ |MC|. Zatem na czworokącie MDLC można opisać okrąg. Oznaczmy
\(2\)
ten okrąg przez o (zobacz rysunek).
\(1\)
C
o
\(1\)
α p
L
K
β
M A D B
Kąty LCD oraz LMD są wpisane w okrąg o i oparte na tym samym łuku LD, więc
\(1\)
|∡LCD| = |∡LMD| = α. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, więc
|∡KCA| = |∡DCA| = α. Zatem |∡KCA| = |∡LMD| = |∡KMA|, a ponieważ punkty C oraz
M są po tej samej stronie prostej AK, więc na czworokącie MAKC można opisać okrąg.
Oznaczmy ten okrąg przez o (zobacz rysunek).
\(2\)
o \(2\) C
o
\(1\)
α α p
L
K
β
α
M A D B
Kąty wpisane KMC oraz KAC są oparte na tym samym łuku CK okręgu o , więc
\(2\)
|∡KAC| = |∡KMC| i wobec |∡KMC| = |∡LMC| mamy |∡KAC| = β.
Kąty wpisane CDL oraz LMC są oparte na tym samym łuku CL okręgu o , więc
\(1\)
|∡CDL| = |∡LMC| = β. Zatem |∡KAC| = β = |∡CDL| = |∡KDL|.
To należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**Zasady oceniania (dla sposobu I)**
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie, że \(\lvert\angle KAC\rvert=\lvert\angle KBC\rvert\) ALBO zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(DBLK\) można opisać okrąg.
**2 pkt** – zapisanie, że \(\lvert\angle KAC\rvert=\lvert\angle KBC\rvert\) oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(DBLK\) można opisać okrąg ALBO zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(DBLK\) można opisać okrąg oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że \(\lvert\angle KBL\rvert=\lvert\angle KDL\rvert\).
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**Zasady oceniania (dla sposobu II)**
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MDLC\) można opisać okrąg ALBO zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MAKC\) można opisać okrąg.
**2 pkt** – zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MDLC\) można opisać okrąg oraz zapisanie, że \(\lvert\angle CML\rvert=\lvert\angle CDL\rvert\) ALBO zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MAKC\) można opisać okrąg oraz zapisanie, że \(\lvert\angle CMK\rvert=\lvert\angle CAK\rvert\), ALBO zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MDLC\) można opisać okrąg oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie \(MAKC\) można opisać okrąg.
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
