Trójkąty
Zadanie 33, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą \(12\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).
Oblicz długość odcinka \(BP\).
Odpowiedź
\[|BP|=\frac{12\sqrt5}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\), więc \(|BS|=6\). Trójkąt \(ABS\) jest prostokątny, a z twierdzenia Pitagorasa
\[|AS|=\sqrt{|AB|^2+|BS|^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5.\]
Odcinek \(BP\) jest wysokością trójkąta \(ABS\) opuszczoną na przeciwprostokątną \(AS\). Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta:
\[\frac12\cdot12\cdot6=\frac12\cdot6\sqrt5\cdot|BP|.\]
Stąd
\[|BP|=\frac{12}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i obliczenie \(|BP|=\frac{12\sqrt5}{5}\)
**1 pkt** – obliczenie \(|AS|=6\sqrt5\), zapisanie odpowiedniego podobieństwa trójkątów albo wykonanie innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w kluczu
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
