Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 32, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\neq a\), prawdziwa jest nierówność
\[a^2+3b^2+4>2a+6b.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\) spełniających \(b\neq a\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę:
\[a^2+3b^2+4-2a-6b=(a-1)^2+3(b-1)^2.\]
Oba składniki są nieujemne. Gdyby ich suma była równa zeru, musiałoby zachodzić jednocześnie \(a=1\) i \(b=1\), czyli \(a=b\), co przeczy założeniu \(b\neq a\). Co najmniej jeden składnik jest więc dodatni, zatem
\[(a-1)^2+3(b-1)^2>0.\]
To dowodzi podanej nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne rozumowanie: sprowadzenie nierówności do sumy kwadratów i poprawny wniosek wykorzystujący założenie \(b\neq a\)
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-1)^2+3(b-1)^2>0\) albo inny równoważny istotny krok wskazany w zasadach CKE
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** wyrażenia algebraiczne i dowodzenie; zdający stosuje wzory skróconego mnożenia oraz własności kwadratów liczb rzeczywistych.
