Trójkąty
Zadanie 34, czerwiec 2023, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym równoramiennym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(BC\) punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(AB\). Odcinek \(CD\) ma długość \(5\) (zobacz rysunek).
Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\(4\sqrt5+2\sqrt{10}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długość każdej przyprostokątnej przez \(a\). Ponieważ \(D\) jest środkiem \(AB\), mamy \(|AD|=\frac a2\). W trójkącie prostokątnym \(ACD\):
\[a^2+\left(\frac a2\right)^2=5^2,\]
\[\frac54a^2=25,\qquad a=2\sqrt5.\]
Przeciwprostokątna ma długość
\[|BC|=a\sqrt2=2\sqrt{10}.\]
Obwód trójkąta wynosi więc
\[2a+a\sqrt2=4\sqrt5+2\sqrt{10}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie obwodu \(4\sqrt5+2\sqrt{10}\)
**1 pkt** – obliczenie długości jednego z boków, np. \(|AB|=2\sqrt5\), albo zapisanie poprawnego równania Pitagorasa wraz z obwodem w zależności od niewiadomej
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** planimetria; zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa i własności trójkąta prostokątnego równoramiennego.
