Nierówności
Zadanie 6, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), spełniona jest nierówność**
\[x^4+y^4>xy(x^2+y^2).\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x\ne y\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-x^3y+y^4-xy^3\]
\[=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2).\]
Z założenia \(x\ne y\), więc \((x-y)^2>0\). Ponadto
\[x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34y^2\geq0,\]
a równość zachodziłaby wyłącznie dla \(x=y=0\), co jest sprzeczne z \(x\ne y\). Zatem drugi czynnik także jest dodatni, więc cały iloczyn jest dodatni. To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)>0\) albo poprawne rozpatrzenie znaków po uzyskaniu \((x-y)(x^3-y^3)>0\)
**1 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)(x^3-y^3)>0\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R2.1 i R2.3 wzory skróconego mnożenia dla sześcianów oraz rozkładanie wielomianu na czynniki.
