Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, czerwiec 2022, poziom podstawowy
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), prawdziwa jest nierówność**
\[\left(\frac15x+\frac45y\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x\ne y\).
Rozwiązanie krok po kroku
Mnożymy obie strony przez \(25\) i przekształcamy nierówność równoważnie:
\[(x+4y)^2<5x^2+20y^2,\]
\[x^2+8xy+16y^2<5x^2+20y^2,\]
\[0<4x^2-8xy+4y^2=4(x-y)^2.\]
Z założenia \(x\ne y\), więc \((x-y)^2>0\), a zatem \(4(x-y)^2>0\). To dowodzi podanej nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do dodatniego kwadratu i uzasadnienie jej prawdziwości na podstawie założenia \(x\ne y\)
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(c[W(x,y)]^2>0\) lub \(-c[W(x,y)]^2<0\), gdzie \(c>0\)
**0 pkt** – brak poprawnego przekształcenia; sprawdzenie tylko wybranych wartości \(x\) i \(y\) nie jest dowodem
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 używanie wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
