Trójkąty
Zadanie 7, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do boku \(AC\) w punkcie \(M\). Punkty \(K\) i \(L\) należą odpowiednio do boków \(AC\) i \(BC\), przy czym \(|KC|=|LC|=2\), a odcinek \(KL\) jest styczny do tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że
\[\frac{|AM|}{|MC|}=\frac45.\]
Odpowiedź
\[\frac{|AM|}{|MC|}=\frac45.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(|KC|=|LC|=2\) oraz \(|AC|=|BC|=6\), z odwrotnego twierdzenia Talesa wynika, że \(KL\parallel AB\). Niech \(P\) będzie środkiem odcinka \(KL\) i punktem styczności tego odcinka z okręgiem; oznaczmy \(|CP|=x\). Trójkąty \(CKP\) i \(CAD\) są podobne w skali \(1:3\), stąd
\[|PD|=2x.\]
Promienie poprowadzone do punktów styczności mają równe długości, więc \(|MD|=|PD|=2x\). Trójkąty prostokątne \(CPK\) i \(CMD\) są podobne, zatem
\[\frac{|PK|}{|CK|}=\frac{|MD|}{|CD|}=\frac{2x}{3x}=\frac23.\]
Ponieważ \(|CK|=2\), otrzymujemy \(|PK|=\frac43\). Z podobieństwa \(CKP\sim CAD\) wynika teraz \(|AD|=3|PK|=4\). Ponadto
\[|CD|=\sqrt{|AC|^2-|AD|^2}=\sqrt{36-16}=2\sqrt5,\qquad |MD|=\frac23|CD|=\frac{4\sqrt5}{3}.\]
W trójkącie prostokątnym \(AMD\):
\[|AM|=\sqrt{|AD|^2-|MD|^2}=\sqrt{16-\frac{80}{9}}=\frac83.\]
Zatem \(|MC|=6-\frac83=\frac{10}{3}\), a więc
\[\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{8/3}{10/3}=\frac45.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód równości \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac45\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnej proporcji wynikającej z podobieństwa \(CPK\sim CMD\), pozwalającej obliczyć \(|PK|\), albo równoważnego równania jednej niewiadomej
**1 pkt** – wykorzystanie podobieństwa trójkątów, np. zapisanie \(|AD|=3|KP|\), albo własności odcinków stycznych
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystywanie cech podobieństwa trójkątów.
