Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność
\[a(a-2b)+2b^2>0.\]
Odpowiedź
\[a(a-2b)+2b^2>0\quad\text{dla}\quad a\neq b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę nierówności:
\[a(a-2b)+2b^2=a^2-2ab+2b^2=(a-b)^2+b^2.\]
Ponieważ \(a\neq b\), mamy \((a-b)^2>0\). Ponadto \(b^2\geq0\). Zatem
\[(a-b)^2+b^2>0,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przedstawienie pełnego uzasadnienia nierówności
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \((a-b)^2+b^2\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia.
