Trójkąty
Zadanie 29, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta i \(|CE| = \frac{3}{4} \cdot |CD|\). Punkt F leży na boku BC, a EF ⟂ BC. Wykaż, że \(|CF| = \frac{9}{16} \cdot |CB|\).
Odpowiedź
Trójkąty CEF i CDB są podobne. Mamy CE = (\(\frac{3}{4}\))CD, CD = (√\(\frac{3}{2}\))CB oraz CF/CE = CD/CB = √\(\frac{3}{2}\). Stąd CF = (√\(\frac{3}{2}\))·(\(\frac{3}{4}\))·(√\(\frac{3}{2}\))CB = (\(\frac{9}{16}\))CB.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego przez \(a=\lvert CB\rvert\). Wysokość \(CD\) ma wtedy długość
\[\lvert CD\rvert=\frac{a\sqrt3}{2}.\]
Trójkąty \(CFE\) i \(CDB\) mają wspólny kąt przy wierzchołku \(C\) oraz kąty proste (\(EF\perp BC\) oraz \(CD\perp AB\)), są więc podobne na podstawie cechy kąt-kąt. Stąd
\[\frac{\lvert CF\rvert}{\lvert CD\rvert}=\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert CB\rvert}.\]
Podstawiamy \(\lvert CE\rvert=\frac34\lvert CD\rvert=\frac{3a\sqrt3}{8}\):
\[\lvert CF\rvert=\frac{\lvert CD\rvert\cdot\lvert CE\rvert}{\lvert CB\rvert}=\frac{\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\frac{3a\sqrt3}{8}}{a}=\frac{\frac{9a^2}{16}}{a}=\frac{9}{16}a,\]
czyli \(\lvert CF\rvert=\frac{9}{16}\lvert CB\rvert\), co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert CF\rvert=\dfrac{9}{16}\lvert CB\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie podobieństwa trójkątów \(CFE\) i \(CDB\) albo zapisanie równoważnej zależności trygonometrycznej.
**2 pkt** – pełne uzasadnienie równości \(\lvert CF\rvert=\frac{9}{16}\lvert CB\rvert\).
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów (7.1). SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający rozpoznaje i nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne (SP9.1).
