Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 7, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[5x^2+y^2-4xy+6x+9\geq0.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę:
\[5x^2+y^2-4xy+6x+9=(2x-y)^2+(x+3)^2.\]
Oba składniki są kwadratami liczb rzeczywistych, zatem są nieujemne. W konsekwencji
\[(2x-y)^2+(x+3)^2\geq0\]
dla każdych \(x,y\in\mathbb R\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – zapisanie \((2x-y)^2+(x+3)^2\geq0\) bez uzasadnienia nieujemności
**1 pkt** – zapisanie postaci \(4x^2-4xy+y^2+x^2+6x+9\geq0\), z której można utworzyć sumę kwadratów
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
CKE dopuszcza też rozwiązanie z funkcją kwadratową i wykazaniem, że jej wyróżnik \(\Delta=-4(y+6)^2\leq0\).
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** dowodzenie nierówności - uzupełnianie do kwadratu albo badanie znaku funkcji kwadratowej z parametrem.
