Trójkąty
Zadanie 8, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Miary kątów trójkąta \(ABC\) są równe
\[\alpha=|\angle BAC|,\qquad \beta=|\angle ABC|,\qquad \gamma=|\angle ACB|.\]
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki \(AS\) i \(BS\) przecinają boki \(BC\) i \(AC\) tego trójkąta w punktach odpowiednio \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli
\[\alpha+\beta=2\gamma,\]
to na czworokącie \(DCES\) można opisać okrąg.
Odpowiedź
Na czworokącie \(DCES\) można opisać okrąg, ponieważ suma miar jego przeciwległych kątów wynosi \(180^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(S\) jest środkiem okręgu wpisanego, półproste \(AS\) i \(BS\) są dwusiecznymi. Zatem
\[|\angle DSE|=|\angle ASB|=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}.\]
Ponadto \(|\angle DCE|=\gamma\). Z założenia \(\alpha+\beta=2\gamma\), więc
\[|\angle DSE|+|\angle DCE|=180^\circ-\frac{2\gamma}{2}+\gamma=180^\circ.\]
Suma miar przeciwległych kątów czworokąta \(DCES\) jest równa \(180^\circ\), dlatego jest to czworokąt wpisany w okrąg.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne uzasadnienie tezy
**2 pkt** – wyznaczenie sumy \(|\angle DSE|+|\angle DCE|=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}+\gamma\) albo równoważnego warunku prowadzącego do tezy, lecz bez poprawnego zakończenia
**1 pkt** – wyznaczenie jednej z kluczowych zależności, np. \(|\angle ASB|=180^\circ-\frac\alpha2-\frac\beta2\), albo wykazanie \(\gamma=60^\circ\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** geometria płaska - dwusieczne w trójkącie, kąty w czworokącie i kryterium istnienia okręgu opisanego.
