Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
( )
\(x 4 + y 4 + x 2 + y 2 \geq 2 x^{3} + y 3\) .
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2\left(x^{3}+y^{3}\right)\).
Wykładniki potęg zostały przez ekstraktor sprowadzone do poziomu wiersza („x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ≥ 2 x^3 + y 3”), przez co część z nich wygląda na osobne czynniki. Liczba i kolejność tokenów pozostała nienaruszona, a odczyt zgadza się z modelem odpowiedzi CKE sprowadzającym nierówność do x²(x − 1)² + y²(y − 1)² ≥ 0.Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla wszystkich \(x,y\in\mathbb{R}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać
\[x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2\left(x^{3}+y^{3}\right).\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę i grupujemy wyrazy zawierające \(x\) oraz wyrazy zawierające \(y\):
\[\left(x^{4}-2x^{3}+x^{2}\right)+\left(y^{4}-2y^{3}+y^{2}\right).\]
W każdym nawiasie wyłączamy kwadrat zmiennej i stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\[x^{2}\left(x^{2}-2x+1\right)+y^{2}\left(y^{2}-2y+1\right)=x^{2}(x-1)^{2}+y^{2}(y-1)^{2}.\]
Każdy składnik jest iloczynem dwóch kwadratów liczb rzeczywistych, więc jest nieujemny; nieujemna jest zatem i ich suma. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x\in\{0,1\}\) i \(y\in\{0,1\}\).
**Odpowiedź.** \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2\left(x^{3}+y^{3}\right)\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), \(y\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapis lewej strony jako sumy odpowiednich kwadratów. 2 pkt: pełne uzasadnienie nieujemności.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
