Czworokąty
Zadanie 29, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna
kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz
rysunek).
D C
E
F
A B
Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Odpowiedź
W czworokącie \(CDEF\) obie sumy miar przeciwległych kątów są równe \(180^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(AB\parallel CD\), a \(BC\) jest ich sieczną, kąty \(ABC\) i \(BCD\) są kątami wewnętrznymi jednostronnymi:
\[\lvert\angle ABC\rvert+\lvert\angle BCD\rvert=180^\circ.\]
Dwusieczne dzielą te kąty na połowy, więc w trójkącie \(BFC\)
\[\lvert\angle FBC\rvert+\lvert\angle FCB\rvert=\tfrac12\left(\lvert\angle ABC\rvert+\lvert\angle BCD\rvert\right)=90^\circ,\]
a stąd
\[\lvert\angle BFC\rvert=180^\circ-90^\circ=90^\circ.\]
Kąt \(EFC\) jest przyległy do kąta \(BFC\), więc również
\[\lvert\angle EFC\rvert=90^\circ.\]
Trapez jest prostokątny o wysokości \(AD\), więc \(AD\perp DC\) i kąt \(CDE\) czworokąta \(CDEF\) jest prosty.
W czworokącie \(CDEF\) mamy zatem \(\lvert\angle CDE\rvert=\lvert\angle EFC\rvert=90^\circ\), czyli jedna para kątów przeciwległych daje w sumie
\[90^\circ+90^\circ=180^\circ.\]
Suma miar kątów czworokąta wynosi \(360^\circ\), więc druga para kątów przeciwległych również sumuje się do \(180^\circ\).
Obie sumy są równe \(180^\circ\), a więc równe sobie, co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Obie sumy miar przeciwległych kątów czworokąta \(CDEF\) są równe \(180^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie \(\lvert\angle BFC\rvert=90^\circ\) albo zapisanie równoważnych zależności kątowych.
**2 pkt** – pełne uzasadnienie równości obu sum kątów przeciwległych.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
