Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 29, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność
\[3x^2+5y^2-4xy\geq0.\]
Odpowiedź
\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę do sumy kwadratów:
\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2.\]
Każdy składnik po prawej stronie jest nieujemny dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\), zatem ich suma także jest nieujemna.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – przedstawienie wyrażenia jako sumy kwadratów albo równoważne wykazanie niedodatniej delty
**2 pkt** – pełne uzasadnienie nierówności dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\)
**0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne, przekształcanie do sumy kwadratów.
