Okręgi i koła
Zadanie 28, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że
\[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2.\]
Odpowiedź
Teza wynika z twierdzenia Talesa i dwóch zastosowań twierdzenia Pitagorasa.
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(AB\) jest średnicą okręgu, kąty wpisane \(\angle ADB\) i \(\angle ACB\), oparte na tej średnicy, są proste. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach \(ADB\) i \(ACB\) otrzymujemy
\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2\]
oraz
\[|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2.\]
Obie lewe strony są więc równe tej samej liczbie \(|AB|^2\), co dowodzi tezy.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – rozpoznanie kątów prostych i zapis obu równości wynikających z twierdzenia Pitagorasa
**2 pkt** – pełne uzasadnienie żądanej równości
**0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria płaska, kąt wpisany oparty na średnicy i twierdzenie Pitagorasa.
