Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 2, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
W czworokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=5\sqrt3\) i \(|CD|=6\), można wpisać okrąg. Przekątna \(BD\) tworzy z bokiem \(AB\) czworokąta kąt o mierze \(60^\circ\), natomiast z bokiem \(AD\) kąt, którego sinus jest równy \(\frac34\). Wyznacz długości boków \(AB\) i \(BC\) oraz długość przekątnej \(BD\) tego czworokąta.
Odpowiedź
\[|AB|=\frac{15}{2},\qquad |BC|=\frac{27-10\sqrt3}{2},\qquad |BD|=\frac{15+5\sqrt{21}}4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\angle ADB\). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABD\):
\[\frac{|AD|}{\sin60^\circ}=\frac{|AB|}{\sin\alpha}.\]
Ponieważ \(|AD|=5\sqrt3\), \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\) i \(\sin\alpha=\frac34\), otrzymujemy
\[|AB|=\frac{15}{2}.\]
Dla czworokąta opisanego na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe, więc
\[|AD|+|BC|=|AB|+|CD|,\]
a stąd
\[|BC|=\frac{15}{2}+6-5\sqrt3=\frac{27-10\sqrt3}{2}.\]
Niech \(f=|BD|\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABD\):
\[75=\frac{225}{4}+f^2-2\cdot\frac{15}{2}\cdot f\cdot\frac12.\]
Po uporządkowaniu
\[4f^2-30f-75=0.\]
Dodatnim rozwiązaniem jest
\[f=\frac{15+5\sqrt{21}}4.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich trzech długości i odrzucenie ujemnego rozwiązania równania dla \(|BD|\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(|BC|\) oraz obu rozwiązań równania pozwalającego obliczyć \(|BD|\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(|BC|\) albo zapisanie i rozwiązanie równania dla \(|BD|\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie \(|AB|=\frac{15}{2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz własność sum długości przeciwległych boków czworokąta opisanego na okręgu.
