Równania i nierówności
Zadanie 5, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), dla \(n\geq1\), dane są
\[a_1=-2\qquad\text{oraz}\qquad r=3.\]
Oblicz największe \(n\) takie, że
\[a_1+a_2+\ldots+a_n<2012.\]
Odpowiedź
Największe n wynosi \(37\). Dla \(a_{1}\)=−\(2\) i r=\(3\) suma ma postać Sn=n(\(3n\)−\(7\))/\(2\). Warunek Sn<\(2012\) daje \(3\)\(n^{2}\)−\(7n\)−\(4024<0\); dodatni pierwiastek jest równy około \(37\),\(81\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Suma \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą oznaczamy \(S_n\). Mamy więc znaleźć największą liczbę naturalną \(n\), dla której \(S_n\lt 2012\). Plan: wyliczyć \(S_n\) ze wzoru, otrzymać nierówność kwadratową i wybrać z jej rozwiązania największą liczbę naturalną.
**Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) i podstawiamy \(a_1=-2\), \(r=3\):
\[S_n=\frac{2\cdot(-2)+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n=\frac{-4+3n-3}{2}\cdot n=\frac{n(3n-7)}{2}.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z zadania:
\[\frac{n(3n-7)}{2}\lt 2012.\]
Mnożymy obie strony przez \(2\) i porządkujemy:
\[3n^2-7n\lt 4024,\qquad 3n^2-7n-4024\lt 0.\]
**Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-4024)=49+48\,288=48\,337.\]
Ponieważ \(219^2=47\,961\) i \(220^2=48\,400\), mamy \(\sqrt{48\,337}\approx 219{,}86\).
**Krok \(5\).** Współczynnik przy \(n^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami. Interesuje nas pierwiastek dodatni:
\[n_2=\frac{7+\sqrt{48\,337}}{6}\approx\frac{7+219{,}86}{6}=\frac{226{,}86}{6}\approx 37{,}81.\]
**Krok \(6\).** Numer wyrazu \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, a warunek to \(n\lt 37{,}81\). Największą taką liczbą naturalną jest \(n=37\).
**Krok \(7\).** Sprawdzamy bez przybliżeń, żeby mieć pewność:
\[S_{37}=\frac{37\cdot(3\cdot 37-7)}{2}=\frac{37\cdot 104}{2}=1924\lt 2012,\]
\[S_{38}=\frac{38\cdot(3\cdot 38-7)}{2}=\frac{38\cdot 107}{2}=2033\gt 2012.\]
Czyli \(n=37\) spełnia warunek, a \(n=38\) już nie.
**Uwaga.** Pytamy o największe \(n\), a \(n\) musi być liczbą naturalną, więc wyniku \(37{,}81\) nie wolno zaokrąglić w górę do \(38\). Zawsze warto zamknąć takie zadanie sprawdzeniem dwóch sąsiednich wartości, jak w kroku \(7\), bo wtedy przybliżenie pierwiastka nie ma już wpływu na odpowiedź.
**Odpowiedź.** Największe takie \(n\) to \(n=37\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą: \(\frac{-2+(3n-5)}{2}\cdot n<2012\).
**2 pkt** – doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej: \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub \(3n^{2}-7n-4024=0\).
**3 pkt** – rozwiązanie nierówności \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub równania \(3n^{2}-7n-4024=0\): \(\frac{7-\sqrt{48337}}{6}\) lub \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\).
**4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego, a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\) i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi; albo błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi.
**5 pkt** – zapisanie, że największą liczbą \(n\), dla której \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}<2012\), jest \(n=37\).
Uwaga: jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba \(n=37\) spełnia tę nierówność, oraz sprawdzi, że liczba \(n=38\) nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje \(5\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV.5.c).
