Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Uzasadnij, że jeśli
\[
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2,
\]
to \(ad=bc\).
Odpowiedź
Teza została uzasadniona: \(ad=bc\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy obie strony danej równości:
\[\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2},\]
\[(ac+bd)^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\]
Po porównaniu i redukcji wyrazów \(a^{2}c^{2}\) oraz \(b^{2}d^{2}\) otrzymujemy
\[a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=2abcd,\qquad a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2}=0.\]
Lewa strona jest kwadratem różnicy:
\[(ad-bc)^{2}=0.\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zerem tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem, więc \(ad-bc=0\), czyli \(ad=bc\).
**Odpowiedź.** \(ad=bc\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – gdy przeprowadzi pełny dowód twierdzenia.
Uwagi:
**1 pkt** – jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie pomijając niektóre przypadki, np. rozważy tylko dodatnie wartości iloczynów \(ad\) i \(bc\).
**0 pkt** – jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość twierdzenia dla konkretnych wartości \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.
