Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(m\) prawdziwa jest nierówność
\[20x^2-24mx+18m^2\geq4x+12m-5.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,m\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę na lewą i przekształcamy:
\[20x^2-24mx+18m^2-4x-12m+5\]
\[=(2x-1)^2+(3m-2)^2+(4x-3m)^2.\]
Każdy składnik po prawej stronie jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc suma jest nieujemna. Otrzymujemy zatem
\[20x^2-24mx+18m^2\geq4x+12m-5\]
dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(m\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód przez zapisanie lewej strony jako sumy trzech kwadratów
**2 pkt** – poprawna postać sumy kwadratów bez końcowego uzasadnienia
**1 pkt** – poprawne przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę i rozpoczęcie grupowania
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
3.2 R - równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
