Okręgi i koła
Zadanie 10, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Punkty \(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{23},P_{24}\) dzielą okrąg na \(24\) równe łuki (zobacz rysunek). Punkt \(A\) jest punktem przecięcia cięciw \(P_{11}P_{22}\) i \(P_1P_{16}\).
Udowodnij, że
\[|\angle P_{16}AP_{11}|=60^\circ.\]
Odpowiedź
\[|\angle P_{16}AP_{11}|=60^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Każdy z \(24\) równych łuków ma miarę
\[\frac{360^\circ}{24}=15^\circ.\]
Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu jest równy połowie sumy miar łuków opartych na tym kącie i kącie wierzchołkowym. Krótszy łuk \(P_{16}P_{11}\) składa się z \(5\) równych łuków, więc ma \(75^\circ\). Krótszy łuk \(P_{22}P_1\) składa się z \(3\) równych łuków, więc ma \(45^\circ\). Zatem
\[|\angle P_{16}AP_{11}|=\frac12(75^\circ+45^\circ)=60^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód, zakończony wartością \(60^\circ\)
**2 pkt** – wyznaczenie miar obu właściwych łuków: \(75^\circ\) i \(45^\circ\)
**1 pkt** – stwierdzenie, że każdy mały łuk ma \(15^\circ\), i wskazanie właściwej zależności kątowej
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.1 zależności między kątami środkowymi, wpisanymi oraz kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy.
