Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 4, maj 2025, poziom rozszerzony
Granica
\[\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{2x^{2}+2x-12}\]
jest równa
**A.** \(\frac{2}{5}\)
**B.** \(\frac{4}{5}\)
**C.** \(\frac{6}{5}\)
**D.** \(\frac{12}{5}\)
Odpowiedź
**C.** \(\dfrac65\)
Rozwiązanie krok po kroku
Bezpośrednie podstawienie daje symbol nieoznaczony \(\tfrac00\), więc rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. W liczniku stosujemy wzór na różnicę sześcianów:
\[x^{3}-8=(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right),\qquad 2x^{2}+2x-12=2\left(x^{2}+x-6\right)=2(x-2)(x+3).\]
Dla \(x\neq2\) można skrócić czynnik \(x-2\):
\[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}{2(x-2)(x+3)}=\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+2x+4}{2(x+3)}=\frac{4+4+4}{2\cdot5}=\frac{6}{5}.\]
**Odpowiedź.** C
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
11.1R) Zdający oblicza granice funkcji […].
