Granice i pochodne
Zadanie 2, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Oblicz granicę \(\lim_{x\to3^{-}}\frac{|x-3|}{x^{2}-9}\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[\lim_{x\to3^{-}}\frac{|x-3|}{x^{2}-9}=-\frac16.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Granica jest jednostronna: \(x\to3^{-}\), więc rozpatrujemy wyłącznie \(x<3\). Dla takich \(x\) zachodzi \(x-3<0\), a zatem z definicji wartości bezwzględnej
\[|x-3|=-(x-3).\]
Mianownik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[x^{2}-9=(x-3)(x+3).\]
Dla \(x\in(-3,3)\) mamy \(x-3\ne0\) oraz \(x+3\ne0\), więc możemy skrócić czynnik \(x-3\):
\[\frac{|x-3|}{x^{2}-9}=\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}.\]
Otrzymane wyrażenie jest ciągłe w punkcie \(3\), bo mianownik dąży do \(6\ne0\), więc granicę obliczamy przez podstawienie:
\[\lim_{x\to3^{-}}\frac{-1}{x+3}=\frac{-1}{6}=-\frac16.\]
Zauważmy, że granica prawostronna jest inna: dla \(x>3\) mamy \(|x-3|=x-3\) i wyrażenie upraszcza się do \(\frac1{x+3}\), które dąży do \(\frac16\). Granica obustronna w punkcie \(3\) zatem nie istnieje — dlatego polecenie mówi wyłącznie o granicy lewostronnej.
**Odpowiedź.** \(-\frac16\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: \(-\frac16\)
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia \(\frac{|x-3|}{x^{2}-9}\) w postaci \(\frac{-1}{x+3}\) dla \(x\in(-3,3)\)
ALBO – zapisanie wyrażenia \(\left|\frac{|x-3|}{x^{2}-9}+\frac16\right|\) w postaci \(\frac16\cdot\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\) dla \(x\in(-3,3)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymaganie szczegółowe:**
XIII.R1) Zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne.
