Granice i pochodne
Zadanie 4, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Granica \(\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\) jest równa:
A. \(-\infty\)
B. \(+\infty\)
C. \(-1\)
D. \(1\)
Wybierz właściwą odpowiedź.
Odpowiedź
**C.** \(-1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Granica jest liczona przy \(x\to-\infty\), więc rozpatrujemy wyłącznie \(x<0\). Kluczowa jest tu równość
\[\sqrt{x^{2}}=|x|=-x\qquad\text{dla }x<0\]
— pominięcie wartości bezwzględnej prowadzi do błędnej odpowiedzi D.
Wyłączamy \(x^{2}\) spod pierwiastka:
\[\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac1{x^{2}}\right)}}{x}
=\frac{|x|\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}}{x}=\frac{-x\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}}{x}=-\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}.\]
Gdy \(x\to-\infty\), mamy \(\frac1{x^{2}}\to0\), więc
\[\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=-\sqrt{1+0}=-1.\]
**Odpowiedź.** C. \(-1\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
11.1R) Zdający oblicza granice funkcji.
