Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 5, maj 2025, poziom rozszerzony
Sąsiednie boki równoległoboku mają długość \(6\) i \(9\). Pole tego równoległoboku jest równe \(18\). Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
W kratki należy wpisać kolejno \(1\), \(4\), \(7\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(\alpha\) kąt ostry równoległoboku. Ze wzoru na pole
\[P=6\cdot9\cdot\sin\alpha=18,\qquad \sin\alpha=\tfrac13.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i z jedynki trygonometrycznej
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\tfrac19}=\frac{2\sqrt2}{3}.\]
Dłuższa przekątna leży naprzeciw kąta rozwartego \(180^\circ-\alpha\), którego cosinus jest równy \(-\cos\alpha\). Z twierdzenia cosinusów
\[d^{2}=6^{2}+9^{2}-2\cdot6\cdot9\cdot\left(-\cos\alpha\right)=117+108\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=117+72\sqrt2.\]
Stąd
\[d=\sqrt{117+72\sqrt2}\approx\sqrt{218{,}82}\approx14{,}792.\]
Cyfra dziesiątek wyniku to \(1\), cyfra jedności \(4\), a pierwsza cyfra po przecinku \(7\).
**Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(1\), \(4\), \(7\).
Klucz i zasady oceniania
2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
7.5R) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
