Granice i pochodne
Zadanie 1, maj 2023, poziom rozszerzony
Granica \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{(x-1)(x+2)}\) jest równa
**A.** \(-1\) **B.** \(0\) **C.** \(\frac{1}{3}\) **D.** \(1\)
Odpowiedź
**D.** \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawienie \(x=1\) daje symbol nieoznaczony \(\frac00\), bo zeruje się zarówno licznik, jak i mianownik. Wspólny czynnik \(x-1\) trzeba więc najpierw skrócić.
Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę sześcianów:
\[x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right).\]
Dla \(x\ne1\) skracamy czynnik \(x-1\):
\[\frac{x^{3}-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^{2}+x+1}{x+2}.\]
Otrzymana funkcja wymierna jest ciągła w punkcie \(1\), bo jej mianownik dąży do \(3\ne0\). Granicę obliczamy przez podstawienie:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x+1}{x+2}=\frac{1+1+1}{1+2}=\frac33=1.\]
**Odpowiedź.** D. \(1\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
R11.1) Zdający oblicza granice funkcji i granice jednostronne, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.
