Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{x\to 2}\frac{x^{5}-2x^{4}+x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x^{2}+3x-6}.\]
Podaj kolejno pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\(\displaystyle \frac{17}{7}=2{,}428571\ldots\), więc kolejne cyfry to \(4\), \(2\), \(8\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy licznik i mianownik:
\[x^{5}-2x^{4}+x^{2}-3x+2=(x-2)(x^{4}+x-1),\]
\[x^{3}-2x^{2}+3x-6=(x-2)(x^{2}+3).\]
Po skróceniu czynnika \(x-2\) otrzymujemy
\[\lim_{x\to2}\frac{x^{4}+x-1}{x^{2}+3}=\frac{16+2-1}{4+3}=\frac{17}{7}.\]
Klucz i zasady oceniania
2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
11.1R) Zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.
