Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 1, maj 2024, poziom rozszerzony
W chwili początkowej \((t=0)\) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa \(80\,{}^\circ\mathrm C\). Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa \(20\,{}^\circ\mathrm C\). Temperatura \(T\) tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
\[T(t)=(T_p-T_z)\cdot k^{-t}+T_z\qquad\text{dla }t\geq0,\]
gdzie:
- \(T\) - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
- \(t\) - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
- \(T_p\) - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
- \(T_z\) - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
- \(k\) - stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po \(10\) minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury \(65\,{}^\circ\mathrm C\).
**Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[T(15)\approx59\,{}^\circ\mathrm C.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunków zadania \(T_p=80\), \(T_z=20\) oraz \(T(10)=65\). Zatem
\[65=(80-20)k^{-10}+20,\]
stąd
\[k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac34.\]
Po piętnastu minutach temperatura kawy wynosi
\[T(15)=60k^{-15}+20=60(k^{-10})^{\frac32}+20.\]
Wobec tego
\[T(15)=60\left(\frac34\right)^{\frac32}+20=\frac{45\sqrt3}{2}+20\approx58{,}97.\]
Po zaokrągleniu do jedności temperatura kawy jest równa \(59\,{}^\circ\mathrm C\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia temperatury kawy po \(15\) minutach oraz poprawny wynik zaokrąglony do jedności: \(59\,{}^\circ\mathrm C\)
**1 pkt** – obliczenie \(k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac34\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
