Funkcje
Zadanie 4, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa
**A.** \(0\)
**B.** \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
**C.** \(1\)
**D.** \(2\)
Odpowiedź
**C.** \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\):
\[\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-2\sin^{2}x\cos^{2}x\leq 1.\]
Równość zachodzi między innymi wtedy, gdy \(\sin x=0\), więc największa wartość funkcji jest równa \(1\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6.4) Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\).
