Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 3, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Zbiorem wszystkich wartości \(m\), dla których równanie \(\lvert x^{2}-x\rvert=m\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest
**A.** \([0,+\infty)\)
**B.** \((\frac{1}{4},+\infty)\)
**C.** \([\frac{1}{4},+\infty)\)
**D.** \(\{0\}\cup(\frac{1}{4},+\infty)\)
Odpowiedź
**D.** \(m\in\{0\}\cup(\frac{1}{4},+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy równanie z parametrem i wartością bezwzględną. Najskuteczniejsza jest tu metoda graficzna: rysujemy wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x|\), a równanie \(f(x)=m\) traktujemy jako szukanie punktów wspólnych tego wykresu z **poziomą** prostą \(y=m\). Liczba rozwiązań to liczba punktów wspólnych.
**Krok \(2\).** Zaczynamy od paraboli bez modułu: \(g(x)=x^2-x=x(x-1)\). Jej miejsca zerowe to \(0\) i \(1\), ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi:
\[x_w=\frac{0+1}{2}=\frac12,\qquad g\!\left(\frac12\right)=\frac14-\frac12=-\frac14.\]
**Krok \(3\).** Wartość bezwzględna odbija nad oś \(OX\) tę część wykresu, która leży pod osią. Pod osią jest dokładnie fragment między \(0\) a \(1\), więc po odbiciu powstaje tam „garb” o wierzchołku w punkcie \(\left(\tfrac12,\tfrac14\right)\). Poza przedziałem \([0,1]\) wykres się nie zmienia — dwa ramiona rosnące do nieskończoności.
**Krok \(4\).** Teraz przesuwamy poziomą prostą \(y=m\) od dołu do góry i liczymy punkty wspólne:
- \(m\lt0\): brak punktów wspólnych (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna),
- \(m=0\): dwa punkty — końce garbu, czyli \(x=0\) i \(x=1\),
- \(0\lt m\lt\tfrac14\): cztery punkty — dwa na garbie i dwa na ramionach,
- \(m=\tfrac14\): trzy punkty — wierzchołek garbu i dwa na ramionach,
- \(m\gt\tfrac14\): dwa punkty — prosta jest już powyżej garbu i przecina tylko ramiona.
**Krok \(5\).** Sprawdźmy jeszcze rachunkiem przypadek \(m=0\):
\[|x^2-x|=0\iff x^2-x=0\iff x(x-1)=0,\]
czyli \(x=0\) lub \(x=1\) — istotnie dwa różne rozwiązania.
**Krok \(6\).** Dokładnie dwa rozwiązania otrzymujemy więc dla \(m=0\) oraz dla \(m\gt\tfrac14\):
\[m\in\{0\}\cup\left(\tfrac14,+\infty\right).\]
**Uwaga.** Punkt \(m=\tfrac14\) trzeba wykluczyć — wtedy rozwiązania są trzy (prosta dotyka garbu w jego wierzchołku). Nie wolno też zapomnieć o odosobnionej wartości \(m=0\); pominięcie jej prowadzi do odpowiedzi B, a dołączenie \(\tfrac14\) — do C.
**Odpowiedź.** D: \(m\in\{0\}\cup\left(\frac14,+\infty\right)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
4.1R) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=|f(x)|\) […].
3.2R) Zdający rozwiązuje równania […] z parametrem.
