Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 1, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
W chwili początkowej \((t=0)\) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa \(m\) związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
\[m(t)=a\cdot2^{-0{,}05t}+b\qquad\text{dla }t\geq0,\]
gdzie:
- \(m\) - masa związku A wyrażona w gramach,
- \(t\) - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili \(t=0\)),
- \(a,b\) - współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili \(t=0\)) była równa \(m_0\) gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy \(t\to+\infty\)) masa tego związku była równa \(\frac19\) jego masy początkowej (zobacz rysunek).
**Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało \(87{,}5\%\) masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[t=120\ \text{s}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A jest równa \(\frac19m_0\), zatem
\[b=\lim_{t\to+\infty}m(t)=\frac19m_0.\]
Z warunku początkowego \(m(0)=m_0\) otrzymujemy
\[m_0=a+\frac19m_0,\qquad a=\frac89m_0.\]
Po przereagowaniu \(87{,}5\%\) masy początkowej pozostaje \(12{,}5\%\), czyli \(\frac18m_0\). Rozwiązujemy więc równanie
\[\frac18m_0=\frac89m_0\cdot2^{-0{,}05t}+\frac19m_0.\]
Po podzieleniu przez \(m_0\) mamy
\[\frac1{72}=\frac89\cdot2^{-0{,}05t},\qquad 2^{-6}=2^{-0{,}05t}.\]
Stąd \(6=0{,}05t\), a więc
\[t=120.\]
Zatem po \(120\) sekundach przereaguje \(87{,}5\%\) masy początkowej związku A.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(120\) sekund
**1 pkt** – wyznaczenie współczynnika \(b=\frac19m_0\) albo zapisanie związku \(a+b=m_0\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; I. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
