Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}.\]
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}=7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) zachodzi
\[7^n\leq6^n+7^n\leq2\cdot7^n.\]
Po wyciągnięciu pierwiastków stopnia \(n\):
\[7\leq\sqrt[n]{6^n+7^n}\leq7\sqrt[n]{2}.\]
Ponieważ \(\lim_{n\to\infty}7=7\) oraz \(\lim_{n\to\infty}7\sqrt[n]{2}=7\), z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy szukaną granicę równą \(7\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**1 pkt** – wskazanie ciągów ograniczających o tej samej granicy, np. \(7\) i \(7\sqrt[n]{2}\), oraz obliczenie granicy jednego z nich
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1 R) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając między innymi z granic ciągów typu \(\sqrt[n]{a}\) oraz z twierdzenia o trzech ciągach.
![Rozwiązanie zadania 8 (zbiór zadań z informatora CKE 2025): Oblicz granicę ∞[n]6^n+7^n. Zapisz obliczenia.](rozwiazanie.webp)
