Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\]
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\), których różnica jest równa \(1\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(f\) jest funkcją kwadratową, \(p\neq0\). Liczba \(x_1=1\) jest miejscem zerowym, bo \(f(1)=0\). Ze wzorów Viète'a
\[x_1x_2=\frac{1-2p}{p},\qquad x_2=\frac{1-2p}{p}.\]
Warunek różnicy miejsc zerowych daje
\[\left|1-\frac{1-2p}{p}\right|=1\iff\left|\frac{3p-1}{p}\right|=1.\]
Stąd \(3p-1=p\) lub \(3p-1=-p\), czyli \(p=\frac12\) lub \(p=\frac14\). Dla obu wartości funkcja ma dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik.
**3 pkt** – rozwiązanie równania \(\left|1-\frac{1-2p}{p}\right|=1\).
**2 pkt** – sprowadzenie warunku \(|x_1-x_2|=1\) do równania z niewiadomą \(p\).
**1 pkt** – wykazanie, że \(x_1=1\), i wyznaczenie \(x_2=\frac{1-2p}{p}\).
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania […].
**Wymagania szczegółowe:**
III. Równania i nierówności.
3R) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
5R) Zdający analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów […] i wyznacza
