Potęgi i pierwiastki
Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną kulę na szczyt góry. Próbę zaczyna w chwili \(t=0\) od punktu \(O\) oddalonego od szczytu o \(4\) km. Położenie \(s\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem
\[s(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t\qquad\text{dla }t\in[0,24],\]
gdzie \(s\) jest wyrażone w metrach, a czas \(t\) - w godzinach. Oś \(Os\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\) m, a największa prędkość podczas ruchu pod górę wynosi \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Pochodna funkcji położenia wynosi
\[s'(t)=-3t^2+33t+180.\]
Jej miejsca zerowe spełniają \(t^2-11t-60=0\), więc w dziedzinie otrzymujemy \(t=15\). Funkcja \(s\) rośnie na \([0,15]\) i maleje na \([15,24]\), zatem \(s(15)=3037{,}5\) m. Najmniejsza odległość od szczytu to
\[4000-3037{,}5=962{,}5\text{ m}.\]
Prędkość jest równa \(v(t)=s'(t)=-3t^2+33t+180\). Parabola osiąga maksimum dla \(t=\frac{11}{2}\), a
\[v\left(\frac{11}{2}\right)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej odległości i największej prędkości wraz z wynikami.
**3 pkt** – zapisanie \(v=s'\) i wyznaczenie ekstremum funkcji \(s'\).
**2 pkt** – zbadanie monotoniczności \(s\) i wyznaczenie jej maksimum.
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(s'\).
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
3R) Zdający […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];
5R) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
