Liczby rzeczywiste
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
**Informacja do zadań \(18\).\(1\)–\(18\).\(2\).**
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\), a długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).
**Zadanie \(18\).\(1\).**
Wykaż, że układ równań
\[\begin{cases}4a+4b+4c=80, & (1)\\2ab+2bc+2ca=256 & (2)\end{cases}\]
z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\) ma rozwiązanie będące parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od \(4\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\[c\in\left[4,\frac{28}{3}\right].\]
Odczyt redakcyjny — wzór w arkuszu nie renderuje się poprawnie
Prawdopodobny zapis: układ równań \(\begin{cases}4a+4b+4c=80\\2ab+2bc+2ca=256\end{cases}\), gdzie numery (1) i (2) są odnośnikami do kolejnych równań, przywoływanymi w dalszej części zadania.
w zapisie zastanym numery równań wstawiono poleceniem \(\backslash\)tag, użytym dwukrotnie w jednym wzorze; KaTeX dopuszcza jeden taki znacznik na wzór i odrzuca cały układ, przez co równania nie renderują się wcale. Treść matematyczna jest poprawna — wadliwy jest wyłącznie sposób numerowania.
Odpowiedź
Układ ma rozwiązanie \((a,b)\in[4,+\infty)^2\) dokładnie dla \(c\in\left[4,\frac{28}{3}\right]\).
Rozwiązanie krok po kroku
Po podzieleniu równań przez odpowiednio \(4\) i \(2\) otrzymujemy
\[a+b+c=20,\qquad ab+bc+ca=128.\]
Eliminujemy \(b=20-a-c\). Liczba \(a\) spełnia równanie
\[a^2+(c-20)a+c^2-20c+128=0.\]
Warunkiem istnienia rozwiązań rzeczywistych jest
\[\Delta_a=(c-20)^2-4(c^2-20c+128)=-3c^2+40c-112\geq0,\]
\[-3(c-4)\left(c-\frac{28}{3}\right)\geq0,\]
czyli \(c\in\left[4,\frac{28}{3}\right]\).
Odwrotnie, dla takiego \(c\) wyróżnik jest nieujemny. Parabola
\[F(a)=a^2+(c-20)a+c^2-20c+128\]
ma wierzchołek o odciętej \(p=\frac{20-c}{2}\in\left[\frac{16}{3},8\right]\), jego rzędna jest niedodatnia, a \(F(4)=(c-8)^2\geq0\). Ma więc miejsce zerowe \(a\geq4\). Drugie rozwiązanie \(b=20-a-c\) jest drugim pierwiastkiem tego samego równania i analogicznie jest nie mniejsze od \(4\). To dowodzi obu implikacji.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – pełne wykazanie obu implikacji, w tym że rozwiązania \(a,b\) są nie mniejsze od \(4\)
**3 pkt** – przyjęcie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) i zbudowanie właściwej funkcji kwadratowej
**2 pkt** – obliczenie wyróżnika i wyprowadzenie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\)
**1 pkt** – wyprowadzenie poprawnego równania kwadratowego z niewiadomą \(a\) lub \(b\) i parametrem \(c\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie obiektów pomocniczych. IV. Rozumowanie i argumentacja - tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5 R) Zdający analizuje równania kwadratowe z parametrami i podaje warunki, przy których rozwiązania należą do określonego przedziału.
