Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się w punkcie \(O\), oddalonym od szczytu o \(4\,\mathrm{km}\), a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem
\[x(t)=-t^3+16{,}5t^2+180t\qquad\text{dla }t\in[0,24],\]
gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\) w godzinach. Oś \(Ox\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
**Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.**
Odpowiedź
Najmniejsza odległość od szczytu wynosi \(962{,}5\,\mathrm m\), a maksymalna prędkość \(270{,}75\,\mathrm{m/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną funkcji położenia:
\[x'(t)=-3t^2+33t+180.\]
W przedziale \([0,24]\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(t=15\). Pochodna jest dodatnia dla \(t\in[0,15)\) i ujemna dla \(t\in(15,24]\), więc największe położenie Syzyf osiąga dla \(t=15\):
\[x(15)=3037{,}5\,\mathrm m.\]
Ponieważ początkowa odległość od szczytu wynosi \(4000\,\mathrm m\), najmniejsza odległość jest równa
\[4000-3037{,}5=962{,}5\,\mathrm m.\]
Prędkość wynosi \(v(t)=x'(t)=-3t^2+33t+180\). Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum dla
\[t=-\frac{33}{2\cdot(-3)}=\frac{11}{2},\]
a więc
\[v_{\max}=v(5{,}5)=270{,}75\,\mathrm{m/h}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej odległości od szczytu i największej prędkości wraz z prawidłowymi wynikami
**3 pkt** – zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia, i znalezienie ekstremum funkcji \(x'\)
**2 pkt** – zbadanie monotoniczności funkcji \(x\) i znalezienie jej ekstremum
**1 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(x\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.3R-XIII.6R fizyczna interpretacja pochodnej, obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.
