Ciągi
Zadanie 5, maj 2021, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+2)^2-(1-2n)^2}{(2n-1)^2}.\]
W odpowiedzi podaj cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[1{,}25\]
W kratkach należało zapisać kolejno cyfry \(1\), \(2\), \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadraty w liczniku i mianowniku:
\[(3n+2)^2-(1-2n)^2=9n^2+12n+4-(4n^2-4n+1)=5n^2+16n+3,\]
\[(2n-1)^2=4n^2-4n+1.\]
Dzieląc licznik i mianownik przez \(n^2\), otrzymujemy
\[\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{16}{n}+\frac3{n^2}}{4-\frac4n+\frac1{n^2}}=\frac54=1{,}25.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: \(1{,}25\), czyli cyfry \(1,2,5\)
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.1 obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem granic \(1/n\), \(1/n^2\) i twierdzeń o działaniach na granicach.
