Ciągi
Zadanie 5, maj 2019, poziom rozszerzony
Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right).\]
Wpisz w kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
Granica jest równa
\[\frac{20}{21}=0{,}(952380).\]
Przykładowy poprawny kod: **\(952\)**.
Rozwiązanie krok po kroku
Dzieląc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez \(n^3\), a drugiego przez \(n^2\), otrzymujemy
\[\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac{11}{n}}{7+\frac5n+\frac3{n^2}+\frac1{n^3}}=\frac97\]
oraz
\[\lim_{n\to\infty}\frac1{3+\frac1{n^2}}=\frac13.\]
Zatem
\[\frac97-\frac13=\frac{27-7}{21}=\frac{20}{21}=0{,}(952380).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zakodowanie dowolnych trzech kolejnych cyfr okresu: **952**, **523**, **238**, **380**, **809** albo **095**
**0 pkt** – inny kod albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R5.2 obliczanie granic ciągów z użyciem granic typu \(1/n\), \(1/n^2\) oraz twierdzeń o działaniach na granicach.
